PENSAMIENTO GEOMETRICO

PENSAMIENTO GEOMETRICO

La geometría estudia los cuerpos, sus propiedades, las relaciones existentes entre ellos, las propiedades y las características del espacio que permanecen invariantes a través de posibles transformaciones de las figura; estudia también el espacio, los objetos que en él se encuentran y sus movimientos.

El objetivo de la enseñanza de la geometría en la escuela es ayudar al alumno a dominar sus relaciones con el espacio para que pueda representar y describir en forma ordenada el mundo en que vivimos y conocer los entes geométricos como modelizaciones de la realidad. El punto de partida de ese conocimiento es el tratamiento intuitivo  de las nociones espaciales y geométricas. La construcción del significado de los conceptos espaciales y geométricos se lograra a través de su utilidad para resolver problemas.

La existencia de los objetos justifica la existencia del espacio. Los procesos cognitivos comienzan a partir del conocimiento de esos objetos; ese conocimiento tiene su raíz en el descubrimiento de la existencia de algo: un objeto que se puede ver, tocar, mover, manipular; es decir, se puede accionar sobre el.

El niño llega a la geometría a través de una vinculación empírica con su entorno físico. El espacio en el que se desplaza lo pone en contacto con los cuerpos reales: sus formas, sus características, los elementos que los constituyen, las semejanzas y las diferencias existentes entre ellos, etc. Por esto la enseñanza de la geometría se inicia con los cuerpos reales físicos para pasar luego a los cuerpos geométricos.

Los conceptos y las propiedades geométricas deben construirse a partir de lo concreto, pero la simple observación no basta para lograr la abstracción de conceptos; es necesario operar sobre los objetos, producir transformaciones en ellos, explóralos a través  de los sentidos. La exploración de los cuerpos y figuras se inicia con los elementos que componen el mundo en que vivimos; allí hallaremos un material rico para observar, establecer semejanzas y diferencias, descubrir elementos, comprobar propiedades, etc.

Luego pasaremos a los cuerpos geométricos para poder conocerlos in­tegralmente. Ese conocimiento llevará paulatinamente al estudio de entes y propiedades inherentes a la geometría métrica euclidiana que se estudia en la escuela.

 GEOMETRÍA ACTIVA

La  geometría activa es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio. Para lograr este dominio del espacio se sugiere el enfoque de geometría activa que parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones  sobre  las  relaciones  y  elementos  de  los  sistemas  y  a  la  importancia  de  las  transformaciones  en  la comprensión  aun  de  aquellos  conceptos  que  a  primera  vista  parecen  estáticos

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

La  moderna  investigación  sobre  el  proceso  de  construcción  del  pensamiento  geométrico  indica  que  éste  sigue  una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales, aunque los niveles finales corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que se dan en la escuela.

El  modelo  de  Van  Hiele  es  la  propuesta  que  parece  describir  con  bastante  exactitud  esta  evolución  y  que  está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional en lo que se refiere a geometría escolar.

Van  Hiele  propone  cinco  niveles  de  desarrollo  del  pensamiento  geométrico  que  muestran  un  modo  de  estructurar  el aprendizaje de la geometría. Estos niveles son:

El Nivel 1: Es el nivel de la visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por ejemplo, un niño  de  seis  años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo especial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para  él son formas distintas y aisladas.

En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras reconocidas visualmente como de “la misma forma”.

El  Nivel  2: Es  un  nivel  de  análisis,  de  conocimiento  de  las  componentes  de  las  figuras,  de  sus  propiedades  básicas. Estas  propiedades  van  siendo  comprendidas  a  través  de  observaciones  efectuadas  durante  trabajos  prácticos como mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. El niño, por ejemplo, ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos también son de la misma longitud. Se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general, pero el niño es todavía incapaz de ver el rectángulo como un paralelogramo particular.

En  este  nivel  los  objetos  sobre  los  cuales  los  estudiantes  razonan  son  las  clases  de  figuras,  piensan  en  términos de conjuntos de propiedades que asocian con esas figuras.

El Nivel 3: Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque puede ser considerado como “un rombo con unas propiedades adicionales”. El cuadrado se ve ya como un caso particular del rectángulo, el cual es caso particular del paralelogramo. Comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento.

En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras.

El Nivel 4:  Es ya de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero  aún  no  se  hacen  razonamientos  abstractos,  ni  se  entiende  suficientemente  el  significado  del  rigor  de  las demostraciones.

El Nivel 5: Es el del rigor; es cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Los estudiantes razonan  formalmente  sobre  sistemas  matemáticos,  pueden  estudiar  geometría  sin  modelos  de  referencia  y  razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.

Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogos soviéticos muestran que el paso de un nivel a otro no es automático y  es  independiente  de  la  edad.  Muchos  adultos  se  encuentran  en  un  nivel  1  porque  no  han  tenido  oportunidad  de enfrentarse con experiencias que les ayuden a pasar al nivel 2.

Sin  embargo,  algunos  estudios  han  mostrado  que  la  población  estudiantil  media  no  alcanza  los  dos  últimos niveles, especialmente el del rigor, pues exige un nivel de cualificación matemático elevado, y que no hay mucha diferencia entre estos dos niveles.

Parece  que  los  estudiantes  deben  recorrer  un  largo  trecho  entre  los  tres  primeros  niveles  y  los   últimos  de  rigor  y formalización, y que ese trecho no ha sido investigado suficientemente para detectar a su vez la existencia de niveles intermedios.

Aunque  estos  niveles  son  una  aproximación  aceptable  a  las  posibles  etapas  en  las  que  progresa  el  pensamiento geométrico, los docentes debemos ser críticos con respecto a ellos, pues no parecen dirigidos a lo que parecen ser los logros  más  importantes  del  estudio  de  la  geometría:  la  exploración  del  espacio,  el  desarrollo  de  la  imaginación tridimensional, la formulación y discusión de conjeturas, jugar con los diseños y desolaciones del plano y sus grupos de transformaciones.  La  propuesta  de  geometría  activa,  que  parte  del  juego  con  sistemas  concretos,  de  la  experiencia inmediata del espacio y el movimiento, que lleva a la construcción de sistemas conceptuales para la codificación y el dominio del espacio, y a la expresión externa de esos sistemas conceptuales a través de múltiples sistemas simbólicos, no coincide con la descripción de Van Hiele, más orientada a la didáctica clásica de la geometría euclidiana y al ejercicio de las demostraciones en T o a doble columna.

La construcción del espacio

La elaboración y la construcción del concepto de espacio lleva su tiempo y se desarrolla en etapas.

Cuando un niño dibuja algo no copia lo que ve, sino que dibu­ja lo que sabe, lo que tiene en su mente. Por eso, cuando dibuja una mesa vista de arriba, por ejemplo, dibuja sus cuatro patas a los lados. Sus ideas del espacio se originan en situaciones personales y concretas; el espacio real, las dimensiones, las distancias, serán reconstruidas por el niño según su criterio y sus vivencias.

La construcción del concepto de espacio se produce en tres

1.    de exploración.

2.    de organización.

3.    de sistematización.

ETAPA DE EXPLORACIÓN

En la primera etapa de su vida el niño actúa en el espacio me­diante la locomoción. Necesita desplazarse por el espacio circundante pa­ra conocer sus dimensiones y las formas que en él se encuentran; no pue­de evocar objetos ausentes, pero sí accionar sobre los existentes.

La manera en que el niño se relaciona con su medio, la existen­cia de objetos concretos que despiertan su interés, permitirá que descubra las relaciones que existen entre ellos.

En esta etapa descubre las nociones espaciales básicas: en el propio esquema corporal, entre él y los objetos, en los objetos entre sí, en­tre las partes de un objeto.

En la etapa de exploración del espacio que suele extenderse has­ta los primeros años de la escuela, se construyen los siguientes conceptos:

•  La orientación: arriba, encima de, sobre, abajo, debajo de, al fondo, delante de, anterior a, antes de, posterior a, después de, la izquierda, la derecha, al centro, etcétera.

•  El lugar: frontera, borde, contorno, perímetro, interior, dentro de, exterior, afuera, etcétera

•  La distancia: cerca, lejos, aquí, allí, allá, más allá, etcétera.

•  La longitud: largo, corto, ancho, alto, etcétera.

• Ias formas geométricas: redondo, cuadrado, etcétera.

Estos conceptos espaciales —de uso cotidiano— son relativa­mente sencillos para los niños; su tratamiento en la escuela es constante y en situaciones diversas: los juegos, las clases de educación física y música, etcétera.

Cuando se enseñan las nociones de distancia y longitud, el ni­ño pasa por distintas subetapas hasta construir el concepto matemático de la conservación de la  longitud. Esas subetapas son: la de comparación di­recta y la de comparación indirecta.

Comparación directa: la actividad se realiza cuando las dos cantidades están presentes simultáneamente y pueden ser manipuladas y comparadas superponiéndolas.

Comparación indirecta: la actividad comparativa se realiza uti­lizando un patrón de comparación.

Mediante las actividades que se realizan en esta etapa, el niño legará a comprender que la longitud de un objeto no cambia a pesar de que se modifique su posición o la configuración espacial de los tramos que componen esa longitud.

Luego se enseña la subdivisión de una longitud en partes equivalentes: si una longitud es dividida en partes, la longitud total se mantiene.

Paulatinamente, se interiorizarán relaciones de equivalencia, de orden y la transitividad.

Si la cinta azul es igual de larga que la cinta roja, la cinta roja es igual de larga que la cinta verde, entonces la cinta azul es igual de larga que la cinta verde. La transitividad es muy importante, pues permite —en­tre otras cosas— seriar.

Cuando se realizan comparaciones indirectas, se utilizan al principio patrones-unidades arbitrarias para medir (un hilo, el ancho de la mano, los dedos, un lápiz, etcétera), hasta que se comprende que, para uni­ficar criterios de medición, es necesario utilizar unidades de medida comu­nes para todos los usuarios (unidad de medida universal).

Para el conocimiento de las formas geométricas el niño utiliza sus sentidos: la vista, el tacto, etc. Es así que la observación, el manipuleo de los objetos, la comparación entre los mismos, sus semejanzas, sus dife­rencias, etc. le permitirán establecer relaciones del tipo: “es parecido a”, “es distinto de”, “es más chico que”, “tiene tantos lados corro”, etcétera.

Sugerencias didácticas para el primer ciclo de la ebp

Proponemos una actividad para el aprendizaje de los siguientes contenidos conceptuales: región interior, región exterior, frontera, perí­metro, adentro, afuera.

Los conocimientos previos del niño serán seguramente las no­ciones espaciales básicas adentro y afuera y los números del uno al seis (no indispensable).

Los recursos materiales que se necesitan son tizas blancas y de colores, pizarrón, números confeccionados en papel (1 al 6)

Las expectativas de logros procuran que los alumnos:

•  interpreten una información para resolver situaciones proble­máticas;

•  establezcan relaciones espaciales elementales;

•  interpreten información oral para resolver situaciones varias;

•  desarrollen habilidades psicomotrices básicas;

•  identifiquen curvas abiertas y cerradas;

• Comiencen a construir ras nociones de región interior región exterior, frontera y perímetro.

SECUENCIA DE ACTIVIDADES:

1. Se formarán grupos de seis niños, permitiéndoles la agrupación libre. Se les repartirán cartones con los números del 1 al 6. Se pedirá a los niños con los números asignados del 1 al 5 in­clusive que formen una ronda, tomados de la mano con los brazos extendidos. Luego se les pedirá a los niños con el nú­mero 6 que se coloquen dentro de la ronda. Se es mostrará que los niños con el número 6 están en el interior de la rue­da. Se le pedirá al niño número 6 que recorra la región inte­rior de la rueda. Se dibujará una curva cerrada en el suelo y en el pizarrón, informando que esa curva es el contorno de la rueda y se pintará la región interior de la curva con una tiza de color.

2. Se le pedirá al alumno número 6 que se incorpore en la rue­da, diciendo que la rueda es la frontera o perímetro. Se le pedirá a un alumno que recorra la región exterior de las rue­das, indicando que esa región de afuera de la frontera es la región exterior. Se pintará en los dibujos del suelo y el piza­rrón la región exterior con un color distinto del anterior

3. Se pedirá a los niños que se agrupen de manera distinta de la anterior y se repetirán las actividades 1 y 2.

4. Se entregarán a los niños dibujos con curvas cerradas y abiertas para que identifiquen pintando con distintos colores la región interior, la región exterior y la frontera de las curvas dibujadas.

Etapa de organización

En esta etapa el niño puede percibir las distancias sin necesidad de recorrerlas realmente. Utiliza principalmente sus sentidos (especialmente la vista) y se le abren las posibilidades de conocer más extensamente el espacio circundante.

Sugerencias didácticas para el segundo ciclo de la ebp

La etapa anterior de exploración del espacio suele coincidir con el inicio de la escolaridad; no obstante, esto no es riguroso. Lo alumnos  ilustran características muy variadas y poseen un bagaje muy distinto de co­nocimientos previos, relacionados con su entorno sociocultural. Por ello el docente debe realizar actividades de diagnóstico que le permitan determinar si los niños pueden moverse en el espacio cumpliendo las consignas propias de esa etapa: arriba, abajo, adentro, afuera, sobre, etcétera.

Se pueden proponer actividades y juegos en los que se usen es­tas nociones y verificar su cumplimiento correcto; también se le, pide al alumno que verbalice sus acciones: una actividad como “guía a tu pareja” es muy útil: un niño con los ojos vendados es guiado por otro cuyas instruc­ciones le permitirán salvar obstáculos y llegar a la meta. También es útil la dramatización de canciones infantiles que en su letra contengan las pala­bras que se refieren a las nociones espaciales básicas.

Realizado el diagnóstico, se iniciarán las actividades propias de la organización del espacio, cuando los alumnos estén capacitados para realizarlas. El Segundo Ciclo de la ECB está dedicado a esta etapa; en él se estudiará topología, se enseñará la geometría métrica euclidiana, se reco­nocerán y estudiarán los cuerpos y las formas geométricas, sus elementos constitutivos, sus propiedades y las relaciones existentes entre los entes geo­métricos.

Topología <topos: lugar) es la rama de la geometría que estudia las propiedades de las figuras que se mantienen invariantes ante transforma­ciones (estiramientos, torsiones, deformaciones que no lleguen a rasgar o destruir la figura), pero estas transformaciones sí modifican el lugar de los objetos.

El punto de partida de la enseñanza y el aprendizaje de la geo­metría es la intuición: a partir del conocimiento intuitivo se realizan com­probaciones, verificaciones experimentales; por último, pueden utilizarse criterios de inferencia y deducciones. La geometría se ha organizado sobre bases empíricas, intuitivas y lógicas. Los alumnos participan en forma acti­va concreta y mentalmente en la construcción de los conceptos con la guía del docente.

Para el aprendizaje de las formas geométricas propias de esta etapa es preciso comenzar por el conocimiento de los cuerpos. Se accede a las figuras a partir de los cuerpos. Se comienza con los cuerpos reales que se encuentran a nuestro alrededor: el armario, la caja de tizas, una ata de conservas, una naranja, etc., y luego se pasa a los cuerpos geométricos.

La característica de los cuerpos es que ocupan un lugar en el espacié; tienen tres dimensiones: largo, ancho y espesor. Los cuerpos tienen por fronteras sus caras, que son superficies planas o superficies curvas.

Los cuerpos cuyas fronteras son superficies planas se llaman cuerpos poliedros y los que tienen su­perficies curvas (al menos una) son los cuerpos redondos.

Los cuerpos

Se puede distribuir a los alumnos diversos cuerpos: latas, cajas, envases de plástico, etc. para que los observen, manipulen, reconozcan sus contornos (mediante el tacto y la vista) y describan cómo son, es decir, cuá­les son sus características: color, forma) tamaño, consistencia, etcétera.

Nos concentraremos luego en su forma, especialmente la for­ma de sus caras, para agruparlos por sus semejanzas y separarlos por sus diferencias. Así surgirá la clasificación de los cuerpos:

•  Cuerpos con una base, con dos bases o sin base.

•  Cuerpos que ruedan con facilidad o cuerpos que no ruedan fácilmente.

•  Cuerpos redondos y cuerpos no redondos.

Esta clasificación según la superficie de sus caras se basa en los siguientes principios matemáticos:

•  Cuerpos con caras planas o cuerpos poliédricos: prismas y pi­rámides;

•  Cuerpos con caras curvas (al menos una) o cuerpos redondos: cilindros, conos, esferas.

Cuando se observan las caras de los cuerpos se advierten algu­nas regularidades relacionadas con su forma y los elementos que las cons­tituyen:

Las caras de los cuerpos son figuras. Corresponden a superficies planas o planos. Los planos no tienen borde o frontera, tienen dos dimen­siones y son continuos. Pueden extenderse tanto como se quiera. El plano es para la geometría euclidiana un ente primitivo que no tiene definición. Los planos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego: α, β, ∞, ⱷ, etcétera.

Los lados de los cuerpos se llaman aristas y son segmentos; si prolongamos los extremos de los segmentos indefinidamente en ambas di­recciones, obtenemos la recta. La recta tiene una dimensión, divide al pla­no en dos sectores y cada uno de ellos es un semiplano. Una recta es un continuo lineal con una dirección y dos sentidos, que puede prolongarse siempre que se desee. Es otro de los entes primitivos de la geometría eucli­deana; por ejemplo, la recta R.

Si prolongamos en un solo sentido el segmento, obtenemos una semirrecta. Es decir que una semirrecta tiene una frontera puntual. Una rec­ta y un punto perteneciente a ella determinan dos semirrectas opuestas; la semirrecta determina a su vez un sentido.

Un lado de un cuerpo (arista) es un segmento. El segmento es la porción de la recta que tiene dos fronteras puntuales; los segmentos pue­den ser medidos. El segmento se nombra por los puntos de sus extremos.

Un vértice de un cuerpo representa un punto; es el punto de in­tersección de las tres dimensiones del espacio. El punto es otro ente geomé­trico fundamental de la geometría euclidiana. El punto se nombra general­mente con letras de imprenta minúsculas.

Las formas geométricas

Cuando el alumno inicia el estudio de las formas geométricas, realiza actividades sensorias motrices y perceptivas. El conocimiento de las formas y su identificación es visual y táctil. Además, comienza a utilizar un vocabulario cada vez más específico que le permitirá paulatinamente expresar con precisión los conceptos.

Las formas geométricas son decepcionadas e identificadas en el siguiente orden:

·         4 a 6 años (aproximadamente): rectángulos y cuadrados;

·         5 a 8 años (aproximadamente): triángulos;

·         7 a 8 años (aproximadamente): rombo no cuadrado.

Cuando se estudian las formas geométricas es de fundamental importancia la observación cuidadosa de sus características y particularidades.

Suele ocurrir frecuentemente que al considerar los rectángulos se ponga el acento en las dimensiones de sus lados, cuando., en realidad, la característica que debe destacarse en este caso es que los ángulos son rectos (Rectángulos).

El niño puede confundir fácilmente las formas geométricas cuando aparecen graficadas en una posición distinta de aquella en la que está acostumbrado a verlas.

Reconoce fácilmente el cuadrado en la posición 1, pero quizá no reconozca el de la posición 2. El rombo de la posición 3 es reconocido más prontamente que el de la posición 4.

Por ello es muy importante que las formas geométricas y las fi­guras puedan ser manipuladas, movidas, tocadas, trasladadas; que se ob­serven en distintas posiciones; que se reconozcan claramente sus caracte­rísticas distintivas; que se establezcan las semejanzas y las diferencias con otras figuras. Se recomienda, entonces, que se elaboren en papel o cartuli­na y se recorten para accionar con y sobre ellas. Las actividades concretas en esta etapa están centradas en el manipuleo.

Las figuras planas aparecen al observar las caras de los cuerpos; luego, los cuerpos pueden apoyarse en una de sus caras sobre un papel y entonces esa cara será calcada y recortada para su estudio. Se observarán sus características; se establecerán relaciones de semejanza y diferencia con las otras caras de ese cuerpo; se contarán lados, vértices, ángulos. Se descubrirán las trayectorias que determinan los cuerpos cuando ruedan o se mueven sobre un plano, existiendo la posibilidad de anticipar dichas tra­yectorias, dibujarlas y luego verificarlas.

En el momento en que conoce los ángulos, el niño utilizará va­rillas movibles de cartón o madera. Esas varillas se apoyarán sobre un pla­no (la mesa, el pizarrón, el suelo, etcétera), observando atentamente las di­ferentes clases de ángulos que pueden formar.

En esta primera aproximación al concepto de Angulo es conveniente no mencionar sus medidas y definir los ángulos rectos de la siguiente forma:

Dos rectas, al cortarse, determinan cuatro regiones congruen­tes; cada una de esas regiones se denomina ángulo recto.

Se puede plegar un papel de modo que se formen dos rectas perpendiculares y verificar luego que las regiones en que queda dividido el papel, después del plegado, son congruentes.

También se observarán los ángulos que forman las agujas del reloj, los que forma la puerta sobre el piso al abrirse, etc. para arribar así a la clasificación de ángulos convexos y cóncavos. Los ángulos convexos pueden ser rectos, agudos u obtusos.

·         Angulo agudo: es el ángulo menor que un recto.

·         Angulo obtuso: es el ángulo mayor que un recto y menor que

·         Angulo llano: es el ángulo equivalente a dos rectos consecutivos; se llama también ángulo de medio giro.

·         Angulo cóncavo: es el ángulo mayor que un llano.

Las varillas movibles (articuladas) son útiles también para ela­borar conceptos relacionados con segmentos consecutivos (colineales y no colineales), poligonales, polígonos, etcétera.

Dos (o más) segmentos son consecutivos cuando tienen un ex­tremo en común.

Los segmentos consecutivos colineales son aquellos que, ade­más de ser consecutivos, están alineados; es decir, pertenecen a una mis­ma recta.

Se llama poligonal la unión de varios segmentos consecutivos no alineados. Las poligonales pueden ser abiertas, cerradas, cruzadas o simples.

El plegado de papel es un recurso muy eficaz y fácilmente se pueden obtener ángulos, figuras, segmentos, etc. Este recurso es indispensable­ para elaborar con claridad el concepto de congruencia. El papel per­mite plegar y superponer y, por lo tanto, visualizar claramente las con­gruencias.

El papel cuadriculado y el milimetrado también son recursos muy valiosos, pero no deben ser utilizados permanentemente. Su uso debe alternarse con el del papel liso para construcciones y/o mediciones. La cau­sa de esta sugerencia se debe al hecho de que el niño que se habitúa a em­plear permanentemente el papel cuadriculado y el milimetrado utiliza, co­mo gula, las marcas en sus construcciones lo que es adecuado en un principio, pero luego necesita desprenderse de esa guía para aprender a manejarse con la regla y la escuadra y lograr exactitud en sus dibujos y construcciones.

También recomendamos el uso de papel transparente y de cal­car, ya que permiten obtener formas geométricas congruentes con la que es objeto de estudio y operar y accionar sobre ella.

El uso de los instrumentos de geometría: regla, compás, escua­dra, transportador, como instrumentos de medición y construcción, debe ser precedido por su adecuado conocimiento: cómo están graduados, cómo se usan, para qué sirven, etc. Si el instrumento auxiliar es conocido de ma­nera adecuada, seguramente será utilizado de forma correcta y eficaz.

Cuando el alumno investiga una situación geométrica, se for­mula una hipótesis inicial, es decir, una respuesta provisoria. La explora­ción, la verificación, la comparación de las hipótesis y las actividades de sus compañeros, la fundamentación de los procedimientos empleados, las conclusiones que se puedan extraer, etc. permitirán que el aprendizaje re­sulte significativo. Esa nueva información se incorpora e integra en los sa­beres anteriores, es decir, se produce una asimilación cognitiva.

Los polígonos

Algunos de los contenidos conceptuales centrales de la geome­tría son: polígonos en general, y triángulos y cuadriláteros, en particular.

El conocimiento y el estudio de los polígonos se inician en la po­ligonal. Para el tratamiento de las poligonales y su clasificación, hemos su­gerido el uso de varillas articuladas movibles. Para los polígonos, esas po­ligonales serán apoyadas sobre un plano (la mesa, el pizarrón, un franeló­grafo, el suelo, etcétera).

El polígono es la unión de una poligonal cerrada no cruzada y su región interior.

El número de lados de un polígono es igual al número de sus ángulos y al de sus vértices.

Los triángulos

Las generalidades referidas a la enseñanza y el aprendizaje de las formas geométricas en general y de los polígonos en particular serán también tenidas en cuenta para los triángulos.

Triángulo es la unión de un trilátero (poligonal de tres lados) y su región interior.

El triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vér­tices. Se llama también trígono y su frontera es un trilátero.

Cuando se estudian los triángulos es recomendable dibujarlos en papel o cartulina y recortados; se abre así un campo muy propicio para la ex­perimentación. De esta manera el alumno podrá superponer triángulos para comprobar o descartar congruencias, plegar los triángulos para obtener el tra­zo de las alturas, calcar ángulos interiores para compararlos, etcétera.

Una de las actividades más importantes referidas a los triángu­los los es la de su clasificación. Clasificamos los triángulos según dos criterios:

·         las relaciones entre sus lados: equiláteros, isósceles, escálenos;

·         las relaciones entre sus ángulos: acutángulos, rectángulos, obtusángulos.

Al clasificar los triángulos, los agrupamos por sus semejanzas y los separamos por sus diferencias. Es importante destacar, en estas activida­des de clasificación, las características y las condiciones determinantes que debe reunir la figura para pertenecer a una determinada clase.

·         Triángulo equilátero: tiene los tres lados congruentes.

·         Triangulo isósceles: tiene al menos dos lados congruentes.

·         Triangulo escaleno: tiene los tres lados no congruentes.

·         Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto.

·         Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos

·         Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

En muchas ocasiones se suele definir el triángulo isósceles co­mo aquel que tiene dos lados congruentes y el tercer lado no congruente con los anteriores. Esta definición —que se utilizaba en la Grecia antigua— no es útil en nuestros días, ya que se considera el triángulo equilátero co­mo un caso particular del triángulo isósceles. En los años superiores el alumno se enfrenta a preguntas semejantes a la siguiente: ¿Los triángulos equiláteros son también isósceles? Para responder adecuadamente se tiene en cuenta la definición de triángulo equilátero.

La clasificación de los triángulos puede diagramarse emplean­do el lenguaje conjuntista (diagramas de Venn). Teniendo en cuenta las re­laciones entre los distintos tipos de triángulos, se obtienen los siguientes gráficos, según sus lados.

El trazado de las alturas de un triángulo ofrece algunas dificultades en los triángulos obtusángulos, pero se facilita cuando previamente se han trazado por plegado. Las actividades gráficas y las construcciones son posteriores a las que se realizan con material concreto, ya que se ven facilitadas cuando el alumno ha realizado concretamente las actividades.

SUGERENCIAS DIDACTICAS

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS.

Las propiedades de los triángulos que se enseñan en el Segundo Ciclo EBP son:

Propiedades de los ángulos interiores de un triángulo. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a un ángulo llano.

Propiedad triangular (es la condición de posibilidad de un triángulo, permite su existencia): en todo triangulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Para la enseñanza de las propiedades mencionadas sugerimos los siguientes procedimientos:

Procedimiento para verificar la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a un ángulo llano.

Para verificar esta propiedad se construye un triángulo cualquiera (ABC): se calca el triángulo en papel transparente para obtener otro triangulo congruente con el primero, luego se recorta el triángulo de papel transparente de tal forma que se obtengan sus ángulos interiores.

Es importante operar sobre un triángulo congruente con el ABC y no desarmar el triángulo original, pues sirve como patrón de comparación.

Obtenidos los ángulos 1, 2 y 3, se colocaran de tal forma que se transformen en ángulos consecutivos. Así se podrá verificar que los tres ángulos interiores del triángulo forman un Angulo llano.

Repetir la experiencia con triángulos de diferentes características (rectángulos, equiláteros, isósceles, escálenos, obtusángulos y acutángulos) llevara a confirmar la propiedad. En los años superiores se puede demostrar:

Trazando la recta paralela a la base a por el vértice b, se obtienen los ángulos 4 y 5.

El 4 = 1 por ser ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.

El 5 = 2 por ser ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.

4 + 3 + 5 = 1 llano.    Reemplazando:

1 + 2 + 3 = 1 llano.

 Las situaciones problemáticas que se presenten deben ser variadas e incluir la reversibilidad:

·         Calcular la medida de uno de los ángulos de un triángulo, conociendo los otros dos.

·         Dada la medida de tres ángulos, investigar si pueden pertenecer a un triángulo.

·         Calcular la medida de los ángulos interiores de un triángulo equilátero.

·         Calcular la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo, isósceles, etc.

Para construir la escuadra es imprescindible verificar que los bordes de la hoja que se use se mantengan la perpendicularidad. El procedimiento más seguro es plegar un papel en cuartos, desplegarlo, luego construir la escuadra y recortar.

La construcción del transportador suele poner en juego toda la creatividad de los niños. Lo más frecuente es que dibujen  un semicírculo (utilizando el compás construido anteriormente) y plieguen. Se obtiene así la graduación 45º, 90º, 135º y 180º. Al plegar en tercios obtienen el ángulo de 60º y luego su mitad, 30º.

Para realizar las construcciones se deberán aplicar todos los recursos y los conocimientos y es frecuente que los niños resuelvan las situaciones planteadas apelando al ingenio. En el caso del ángulo de 60º puede ocurrir que construyan un triángulo equilátero (cuyos ángulos interiores miden 60º cada uno, por la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo) y utilicen uno de estos ángulos del triángulo para calcarlo. Para trazar su bisectriz bastara con doblar el ángulo por la mitad de su amplitud.

ETAPA DE SISTEMATIZACION

Al finalizar el segundo ciclo de la EBP (aproximadamente), comienza una etapa de transición entre la organización del espacio y su sistematización. Las formas reales pueden ser reemplazadas por gráficos, construcciones y/o figuras de análisis.

La construcción del concepto de proporcionalidad y el reconocimiento de la perspectiva determinan el comienzo de la sistematización del espacio. Esta etapa comienza en el Tercer Ciclo de la EBP y se extiende durante toda la escolaridad posterior.

A partir de los 11 o los 12 años el individuo está en condiciones de interpretar un espacio matemático, un espacio abstracto; un espacio donde una figura o una forma pueda ser pensada, analizada aun en ausencia de ella. En esta etapa se intenta la generalización y la abstracción de los conceptos geométricos y se realizan (en algunos casos) demostraciones por estrictos criterios de inferencia y aplicando el pensamiento deductivo (teoremas).

En este periodo el lenguaje matemático alcanzara progresivamente la precisión que lo caracteriza y se integraran contenidos conceptuales y procedimentales. También se lograra la interrelación de los entes geométricos y sus propiedades, imprescindible en la resolución de situaciones problemáticas.

SUGERENCIAS DIDACTICAS

ETAPA DE ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO

·     Elaborar (fabricar) los instrumentos de geometría (regla, escuadra, compás, transportador) con elementos de librería, como, por ejemplo: papel, papel cuadriculado, papel milimetrado, papel glasé, hilo, etc.

·     Con los instrumentos fabricados construir:

-       dos rectas perpendiculares.

-       Dos rectas paralelas oblicuas.

-       Una circunferencia.

-       Un Angulo de 60º.

-       La bisectriz del Angulo anterior.

Cuando los alumnos realizan estas actividades ponen en juego toda su creatividad y sus conocimientos intuitivos, que no son pocos.

Asimismo, en la construcción de los elementos de geometría seguramente se tendrán en cuenta los principios matemáticos que los fundamentan. Por ejemplo: al construir la regla no solo se debe tener en cuenta su rectitud, sino también que permita medir; por lo tanto, deberá estar graduada.

En el caso del compás, si bien algunos alumnos lo fabrican semejante al comprado con alfileres, maderas, etc., lo realmente importante es que el compás elaborado sirva para mantener una distancia fija (radio o diámetro de la circunferencia); entonces suele bastar un hilo, uno cuyos extremos este fijado al plano de la hoja (con un alfiler por ejemplo).

 REPRESENTACIÓN BIDIMENSIONAL DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Otro  aspecto  importante  del  pensamiento  espacial  es  la  exploración  activa  del  espacio  tridimensional  en  la  realidad externa y en la imaginación, y la representación de objetos s olidos ubicados en el espacio.

Al respecto Palpan y Winter, afirman:

A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos  a  nuestros  niños  son  bidimensionales.  Nos  valemos  de  libros  bidimensionales  para presentar   las   matemáticas   a   los   niños,   libros   que   contienen   figuras   bidimensionales   de   objetos tridimensionales. A no dudar, tal uso de “dibujos” de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el  proceso  de  comprensión.  Es  empero,  necesario  que  los  niños  aprendan  a  habérselas  con  las representaciones  bidimensionales  de  su  mundo.  En  nuestro  mundo  moderno,  la  información  seguir á estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real.

Para comunicar y expresar la información espacial que se percibe al observar los objetos tridimensionales es de gran utilidad  el  uso  de  representaciones  planas  de  las  formas  y  relaciones  tridimensionales.  Hay  distintos  tipos  de  tales representaciones.  Cada  una  es  importante  para  resaltar  un  aspecto,  pero  es  necesario  utilizar  varias  a  la  vez  para desarrollar y completar la percepción del espacio.

La representación en el plano de cuerpos sólidos o de objetos de la realidad, puede hacerse mediante dibujos de vista única o dibujos de vista múltiples. Los dibujos de vista única son aquellos en los que se ilustran las tres dimensiones del objeto en una sola vista, con lo cual se logra representar el objeto de una manera muy próxima a la realidad. Hay dos maneras de hacer estos dibujos: mediante axonometrías y mediante perspectivas cónicas.

Los  dibujos  de  vistas  múltiples  representan  los  objetos  a  través  de  una  serie  fragmentada  de  vistas relacionadas.

EL  DIBUJO  EN  PERSPECTIVA  se  puede  utilizar  con  mucho  provecho  para  la  educación estética, y para el ejercicio de las proyecciones de objetos tridimensionales en la hoja de papel, y de la hoja de papel al espacio. Para esto último se puede empezar por dibujar cubos y cajas en perspectiva, de manera que unos oculten parcialmente a los otros, y luego tratar de colocar cubos y cajas de cartón sobre una mesa de manera que se vean como en el papel. Aun en el dibujo en perspectiva es difícil dibujar las elipses que representan las distintas maneras como aparece un círculo desde distintos puntos  de  vista.  Por  eso  puede  ser  aconsejable  limitar  la  perspectiva  a  figuras  rectilíneas a menos que los mismos alumnos quieran explorar cómo se dibujan las tapas de las alcantarillas en las calles ya dibujadas en perspectiva.

 LAS TRANSFORMACIONES

En la actualidad, gran parte de la geometría escolar se ha ocupado del movimiento de figuras geométricas desde una posición a otra, y de movimientos que cambian el tamaño o la forma. El estudio de las transformaciones de figuras ha ido progresivamente primando sobre la presentación formal de la geometría, basada en teoremas y demostraciones y en el método deductivo.

La primacía de las figuras muertas y de las relaciones de paralelismo y perpendicularidad de líneas, y las de igualdad o congruencia o semejanza de figuras ocultaron por mucho tiempo el origen activo, dinámico de los conceptos geométricos, y dejaron en la penumbra las transformaciones. Los sistemas geométricos se  redujeron  a  sus  componentes,  como  los  puntos,  líneas  y  planos,  segmentos  de  recta  y  curvas,  y figuras compuestas por ellos, con sólo la estructura dada por las relaciones mencionadas.

Esta  propuesta  intenta  devolver  la  dinámica  a  los  sistemas  geométricos,  con  sus  operadores  y transformaciones,  que  resultan  de  internalizar  en  forma  de  esquemas  activos  en  la  imaginación, los movimientos,  acciones  y  transformaciones  que  se  ejecutan físicamente. Esto  quiere  decir  que  una transformación no puede definirse, ni mucho menos simbolizarse formalmente, antes de que los alumnos hayan hecho algunas transformaciones externas, moviéndose ellos mismos y moviendo hojas, varillas y otros  objetos,  deformándolos,  rotándolos o deslizándolos unos  sobre  otros  de  manera  física,  de  tal manera que ya puedan imaginarse esos movimientos sin necesidad de mover o transformar algo material,

a lo más acompañando esta imaginación con movimientos del cuerpo o de las manos”.

Cuando  se  estudien  estos  sistemas  de  transformaciones,  debe  comenzarse  por  los  desplazamientos  que  pueden hacerse con el propio cuerpo, o deslizando objetos y figuras sobre el plano del piso, del papel o del tablero. Con esto se llega primero a las rotaciones y a las traslaciones. Se trata de ver qué tipo de movimientos conservan la dirección, cuáles la orientación en el plano o en el espacio, cuáles cambian los  órdenes  cíclicos de los vértices, sin definir verbalmente ninguna de estas transformaciones.