Procesos generales
Sin obedecer a una clasificación
excluyente los procesos presentes en toda la actividad
matemática tienen que ver con:
La resolución y el planteamiento de problemas
El razonamiento
La comunicación
La modelación
La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
La resolución y el planteamiento de problemas:
“Para un espíritu científico
todo conocimiento es una respuesta
a una pregunta Si no
ha habido pregunta no puede
haber
conocimiento
científico.
Nada sirve solo,
nada es dado.
Todo es construido
”Gaston Bachelard.
La actividad de resolver
problemas
ha sido considerada como un
elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en afirmar que la resolución de problemas debe ser eje central del currículo
de
matemáticas, y como tal, debe
ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la
actividad
Matemática. Pero esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo, deber
á Permearlo en su totalidad
y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas
van ganando confianza en el uso de las matemáticas,
van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su
capacidad de comunicarse matemáticamente
y su capacidad para utilizar procesos de
pensamiento de más alto nivel.
Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad
muy importante para aprender
matemáticas, proponen considerar en el currículo
escolar de matemáticas aspectos como los siguientes. Formulación de problemas
a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas
Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas. Verificación e
Interpretación de
resultados a la luz del problema original. Generalización de soluciones y
estrategias para nuevas situaciones de problemas. Adquisición de confianza en el uso
significativo de las
matemáticas (NCTM, 1989:).
El reconocimiento
que se le ha dado a la
actividad de resolver problemas
en el desarrollo de las matemáticas ha originado algunas
propuestas sobre su enseñanza, entre
las cuales
las más conocidas son las de los
Investigadores
Polya y Alan Schoenfeld. Dewey, De Guzmán.
Para Polya
“resolver un problema
es encontrar
un camino
allí
donde no se
conocía
previamente
camino
alguno,
encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no
es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”.
Polya describió las siguientes cuatro fases para resolver problemas:
El plan de George Pólya (1945) contempla cuatro fases principales para resolver
un problema:
1. Comprender el problema.
2. Elaborar un
plan.
3. Ejecutar el plan.
4. Hacer la verificación.
.
Para cada fase sugiere una serie de preguntas
que el estudiante se puede hacer, o de aspectos que debe considerar
para avanzar
en
la
resolución del
problema, para utilizar
el razonamiento
heurístico,
el
cual
se
considera
como
las
estrategias para avanzar en problemas desconocidos
y
no
usuales.
John Dewey (1933) señala las
siguientes
fases en el proceso de resolución de problemas:
1.
Se siente una dificultad: localización de un problema.
2. Se formula y
define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto.
3.
Se sugieren posibles soluciones: tentativas
de
solución.
4.
Se obtienen
consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.
5.
Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.
Miguel de Guzmán (1994) presenta el siguiente modelo:
1.
Familiarízate con el problema.
2. Búsqueda de estrategias.
3.
Lleva adelante tu
estrategia.
4. Revisa el proceso y saca consecuencias de él.
La resolución
de
problemas, según Alan Schoenfeld (1985).
Este investigador se considera continuador de la obra de Pólya, sin embargo sus trabajos
Están enmarcados
en otra corriente psicológica, la del procesamiento de la
información. Sus investigaciones se han
centrado en
la
observación
de la conducta de
Expertos y novicios
resolviendo problemas. Su trabajo
juega
un papel importante en la implementación
de las actividades relacionadas con
el
proceso de resolver problemas
en el aprendizaje
de las matemáticas y se
fundamenta en las siguientes
ideas:
En el salón de
clase
hay que
propiciar a los estudiantes condiciones
similares
a
las condiciones
que los matemáticos
experimentan en el proceso de desarrollo de esta
ciencia. Para
entender cómo
los
estudiantes intentan resolver
problemas
y
consecuentemente
para
proponer actividades que puedan ayudarlos es
 |
necesario discutir problemas
en
diferentes contextos
y considerar que en
este
proceso influyen los siguietes factores
El dominio del cocimiento: Que son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema como intuiciones, definiciones, conocimiento informal del tema, hechos, procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar en el dominio.
Estrategias cognoscitivas: Que incluyen
métodos heurísticos
como descomponer
el problema
en simples
casos, establecer metas relacionadas, invertir el problema,
dibujar diagramas, el uso de material manipulable, el ensayo y el error, el uso de tablas y listas ordenadas, la búsqueda de patrones y la reconstrucción del problema.
Estrategias metacognitivas:
Se relacionan con
el
monitoreo
y
el control. Están las decisiones globales
con respecto a la selección e implementación de
recursos y estrategias, acciones tales como
planear, evaluar
y
decidir.
El sistema de
creencias. Se compone
de la
visión
que se
tenga de
las matemáticas
y
de sí
mismo. Las creencias determinan la
manera
como
se
aproxima
una
persona
al
problema,
las
técnicas que usa o evita, el tiempo
y el esfuerzo que le dedica, entre
otras.
Las creencias establecen el marco dentro del cual se utilizan los recursos,
las estrategias cognitivas
y las metacognitivas (Santos, Luz
Manuel, 1992: 22). La
formulación y solución de problemas permite
alcanzar
metas
significativas
en
el
proceso
de
construcción del
conocimiento matemático. Citemos
algunos Desarrollar habilidad para comunicarse matemáticamente: expresar
ideas, interpretar y evaluar, representar, usar consistentemente los diferentes tipos de lenguaje,
describir relaciones y modelar situaciones cotidianas.
Provocar procesos de investigación que subyacen al
razonamiento matemático; nos
estamos
refiriendo precisamente a los procesos
del
pensamiento
matemático: la manipulación (exploración de
ejemplos, casos particulares); la formulación de conjeturas (núcleo del razonamiento matemático, proponer sistemáticamente afirmaciones que parecen ser razonables, someterlas a prueba y estructurar argumentos sobre su validez).
El razonamiento: Dentro
del contexto de planteamiento y resolución de
problemas, el razonamiento matemático
tiene que ver estrechamente con
las matemáticas como comunicación, como modelación y como procedimientos. De manera general,
entendemos por razonar
la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión.
En el razonamiento matemático es necesario tener
en cuenta de una parte,
la edad de los estudiantes y su nivel
de desarrollo y, de otra, que cada logro alcanzado en un conjunto
de grados se retoma y amplía en los conjuntos de grados siguientes.
Razonar en matemáticas tiene que ver con:
Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.
Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas. Formular hipótesis, hacer
conjeturas y
predicciones, encontrar contraejemplos, usar
hechos
conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros
hechos.
La comunicación: Una necesidad común que tenemos todos los seres humanos en todas las actividades, disciplinas, profesiones y sitios de trabajo es la habilidad
para
comunicarnos.
Los
retos
que
nos
plantea
el
siglo
XXI
requieren
que
en
todas
las
profesiones científicas y técnicas las personas sean capaces de:
Expresar
ideas hablando, escribiendo, demostrando y describiendo visualmente de diferentes formas. Comprender, interpretar y evaluar ideas
que son presentadas oralmente, por escrito
y en forma visual. Construir, interpretar y ligar varias representaciones de ideas y de relaciones. Hacer
observaciones y conjeturas, formular preguntas, y reunir y evaluar información.
Producir y presentar argumentos persuasivos y convincentes. En los últimos años se ha incrementado el interés de los investigadores por estudiar cómo comunican ideas matemáticas los alumnos y qué
factores facilitan o impiden
el desarrollo de habilidades comunicativas.
Muchas de estas características y habilidades se dan diariamente en la interacción de los alumnos en las clases, pero no
se le ha puesto suficiente atención en el currículo de matemáticas, en parte por las limitaciones del tiempo y en parte porque se cree que no son tan
importantes y que son asunto de los profesores de otras áreas. Diversos
estudios han
identificado la comunicación como
uno de
los procesos
más importantes para aprender
matemáticas y para resolver
problemas.
Al respecto se dice que “la comunicación juega un papel fundamental, al ayudar a los niños a construir los v vínculos entre sus nociones informales e intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas; cumple también una función
clave como ayuda para que los alumnos
tracen importantes conexiones entre las representaciones física, pictóricas, gráficas, simbólicas, verbales
y mentales de las ideas matemáticas.
Cuando los niños ven que una representación, como puede
serlo una ecuación, es capaz de describir muchas
situaciones distintas, empiezan
a comprender la potencia de las
matemáticas; cuando
se
dan
cuenta
de
que
hay
formas
de
representar
un
problema
que
son
más
útiles que otras, empiezan a comprender la flexibilidad y la utilidad
de las matemáticas” .
Thomas A. Romberg en su artículo “Características problemáticas del currículo escolar de matemáticas ”, destaca la comunicación verbal y escrita como
una
parte
crucial
del
proceso
de
enseñanza y aprendizaje
de las
matemáticas, por las siguientes
razones:
En primer lugar,
la comunicación
en forma
de argumento
lógico es fundamental para
el discurso
matemático. En
segundo lugar, la comunicación es el medio por el cual los conocimientos personales se sistematizan en un ámbito y, por
tanto, se aceptan como conocimiento nuevo. En tercer lugar el desarrollo en las categorías y estructuras del sistema
lingüístico estructura la comprensión de niño
y la hace progresar
hacia un modelo de conciencia pública.
En consecuencia con estas ideas, el autor
propone que el trabajo de los alumnos debe dejar de ser actuar con estructuras ajenas, responder a preguntas
ajenas y esperar
que el profesor compruebe la respuesta. Además, que la evaluación del desempeño y de los conocimientos de los alumnos no debe seguir basándose en pruebas en las que las
respuestas de éstos sean limitadas a respuestas cortas,
correctas o incorrectas, y que en la creación del conocimiento
sólo existe lo que se ajusta a la estructura del conocimiento matemático ya creado por el alumno y lo que no se ajusta a ella y debe,
por tanto, sugerir
la conjetura. De esta manera
las funciones y el trabajo de los
alumnos y de los profesores se consideran
complementarias.
El
profesor debe guiar, escuchar, discutir, sugerir, preguntar y clarificar el trabajo de los alumnos
a través de actividades apropiadas e interesantes.
La necesidad
y
la
oportunidad
para
que
los
estudiantes
comuniquen sus ideas matemáticas y hablen
sobre las
matemáticas deben estar consideradas en las propuestas curriculares formuladas en los PEI, tanto en las estrategias de enseñanza, como en las actividades de aprendizaje y en las tareas o actividades de evaluación.
La comunicación es la esencia de la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación
de las matemáticas.
Las clases deberían caracterizarse por las conversaciones sobre las matemáticas entre los estudiantes y entre éstos y el
profesor. Para que
los profesores
maximicen la comunicación
con y entre
los estudiantes,
deberían minimizar
la cantidad de tiempo que ellos mismos dominan
las discusiones en el salón de clase.
En nuestras clases los
profesores necesitamos escuchar lo que los estudiante comprenden, lo que ellos
saben, lo ellos piensan sobre las matemáticas y sobre su aprendizaje, escuchar
las preguntas que hacen y las que no hacen, etc., para conocer cómo van sus
procesos de razonamiento, de resolución de problemas, etc., para orientar el
uso del lenguaje matemático y ayudarlos a desarrollar su habilidades para comunicar
matemáticas.
Para que los
estudiantes puedan comunicarse matemáticamente necesitamos establecer un
ambiente en nuestra clase en que la comunicación sea una práctica natura que
ocurra regularmente y en lo cual las discusiones de ideas sean valoradas por
todos. Este ambiente debe permitir que todos los estudiantes: adquirir
seguridad para preguntar, motivarse para exteriorizar algunas preguntas,
interpreta, resolver ejercicios, hacer informes, gráficos, utilizar el lenguaje
matemático e informático; la comunicación se da frecuentemente en grupos
colaborativos cuando trabajan en grupo.
La modelación
La sociedad ha experimentado en los últimos tiempos un cambio de una sociedad
industrial a una sociedad basada en la información; dicho cambio implica una transformación de las matemáticas que se enseñan en la escuela, si se pretenden
que los estudiantes de hoy sean ciudadanos realizados y productivos en
el siglo que viene.
Actualmente, con la aparición de la era informática, uno de los énfasis que se hace es la búsqueda y construcción de modelos matemáticos.
La
tecnología moderna
sería imposible sin las matemáticas
y prácticamente ningún proceso técnico podría llevarse a cabo en ausencia
del modelo matemático que lo sustenta.
Cuando hablamos de la actividad
matemática en la escuela destacamos que el alumno aprende matemáticas “haciendo
matemáticas”, lo que supone como esencial la resolución de problemas
de la vida diaria, lo que implica que desde el principio se integren al currículo una variedad de problemas
relacionados con el contexto de los estudiantes.
La resolución de problemas en un amplio sentido se considera siempre en
conexión con las aplicaciones y la
modelación. La forma de describir ese juego o interrelación entre el mundo real y las matemáticas es la modelación. La
capacidad de predicción que
tiene un
modelo matemático es un concepto poderoso y fundamental
en
las
matemáticas. Otros las
consideran equivalentes. Nosotros consideramos la mate
matización como el proceso desde el problema enunciado matemáticamente
hasta las matemáticas y la modelación o la construcción de modelos
como el proceso completo que conduce desde la situación
problemática real original hasta un modelo matemático.
Treffers
y
Goffree
describen
la
modelación como
“una
actividad
estructurante
y
organizadora,
mediante
la
cual
el
conocimiento y las
habilidades adquiridas se
utilizan para descubrir
regularidades, relaciones y estructuras
desconocidas”.
El proceso de modelación no solamente produce una imagen simplificada sino también una imagen fiel de alguna parte de un proceso real pre-existente. Más bien, los modelos matemáticos
también estructuran y crean un pedazo
de
realidad, dependiendo del conocimiento, intereses e intenciones del que
resuelve el problema. Los elementos básicos de la construcción de modelos se
presentan a través de
la
siguiente
figura
propuesta
por
el
matemático holandés Hans
Freudenthal,
quien
considera
que el núcleo básico del currículo
de matemáticas en la escuela debe ser el aprendizaje de las estrategias de matematización.
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