PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMA ALGEBRAICO

 PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICO

Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variaciones como uno de los logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos  áticos fragmentados y compartimentalizados,para ubicarse en el dominio  de  un  campo  conceptual,  que  involucra  conceptos y procedimientos  interestructurados y vinculados  que permitan  analizar,  organizar  y  modelar  matemáticamente situaciones y  problemas  tanto  de  la  actividad  práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas.

En esta forma se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes.

Una rápida visión a la evolución histórica, desde las matemáticas, del estudio de la variación permite afirmar que ésta se inicia con las tablas babilónicas, con las gráficas de variación (Óreseme en la Edad Media) y con las fórmulas algebraicas de  origen  renacentista.

  Particularmente,  el  contexto  de  la  variación  proporcional  para  modelar  las  situaciones  de variación cobra especial relevancia por ser la  única teoría  matemática con la  en la edad media. Pero es el contexto del estudio matemático del movimiento donde se alcanza la construcción matemática de la variación, lo que configura el Cálculo.

Esta   breve   e   incompleta   presentación   histórica   de   la   variación,   hace   necesario   desmenuzar   los   conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner al descubierto las interpelaciones entre ellos. Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los núcleos conceptuales matemático en los que está involucrada la variación:

 Continuo  numérico,  reales,  en  su  interior  los  procesos  infinitos,  su  tendencia,  aproximaciones  sucesivas, divisibilidad; la función como dependencia y modelos de función; las magnitudes; el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este campo; modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad cobra especial significado.

En los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático.

Abordado  así  el  desarrollo  del  pensamiento  variaciones  se  asume  por  principio  que  las  estructuras  conceptuales  se desarrollan  en  el  tiempo,  que  su  aprendizaje  es  un  proceso  que  se  madura  progresivamente  para  hacerse  más sofisticado,  y  que  nuevas  situaciones  problemáticas  exigirán  reconsiderarlo  aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas.

Entre  los  diferentes  sistemas  de  representación  asociados  a  la  variación se encuentran los enunciados verbales, las representaciones  tabulares,  las  gráficas  de  tipo  cartesiano  o  sagital,  las  representaciones  pictóricas  e  icónicas,  la instrucciones (programación), la mes única (molinos), las fórmulas y las expresiones analíticas.

El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas.

 El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica. La organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los estudiantes  el  desarrollo  del  pensamiento  variaciones  por  cuanto  la  solución  de  tareas  que  involucren  procesos aritméticos,  inicia  también  la  comprensión  de  la  variable  y  de  las  fórmulas.  En  estos  problemas  los  números usados deben ser controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados en la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una herramienta necesaria en la iniciación del estudio de la variación.

Adicionalmente la tabla se constituye en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es un ejemplo concreto de  función  presentada  numéricamente.  Y  aunque  en  algunas  ocasiones  enfatiza  la  variación  numérica discreta, es necesario ir construyendo la variación numérica continua. As sí mismo, las situaciones problemáticas deben seleccionarse para enfrentar a los estudiantes con la construcción de expresiones algebraicas o con la construcción  de las fórmulas.

Tal  como  lo  señala  Demanda  (1990)  la  exposición  repetida  de  construcciones  de  fórmulas,  como  expresiones  que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que aparecerán  después  del  estudio  del  álgebra.  La  tabla  también  se  constituye  en  una  herramienta  necesaria  para  la comprensión de la variable, pues el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede  tener  un  número infinito de valores de reemplazo.

Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expresiones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio. Otra  herramienta  necesaria  para  iniciar  el  estudio  de  la  variación  desde  la  primaria  la  constituye  el  estudio  de  los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías y representaciones pictóricas e icónicas. En las matemáticas  los  escenarios  geométricos  o  numéricos  también  deben  ser  utilizados  para  reconocer  y  describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Estas exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripción verbal de la relación que existe entre las cantidades (el argumento y el producto terminado que se lee  primero)  que  intervienen  en  la  transformación. Los contextos  de  variación  deben incluir  patrones aditivos y multiplicativos.

Las tablas se pueden usar posteriormente para llevar a los estudiantes a la traficación de situaciones problema de tipo concreto, aunque quede restringida al primer cuadrante. La identificación de la variable independiente y dependiente es más  significativa  cuando  se  inicia  desde  la  representación  de  situaciones  concretas.  Más  adelante  se  formaliza  el sistema cartesiano con el aprendizaje de su sintaxis.

Por su parte,  las  gráficas  cartesianas  también  pueden  ser  introducidas  tempranamente  en  el  currículo.  Ellas  hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación explícita entre las variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con situaciones de variación cualitativa y con la identificación de nombres para los ejes coordenados.

Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de variables intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a comprender el razonamiento multiplicativo.

Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre variables, gestando la noción de función como dependencia.

Los contextos donde aparece la noción de función establecen relaciones funcionales entre los mundos que cambian, de esta manera emerge la función como herramienta de conocimiento necesaria para “enlazar” patrones de variación  entre variables  y  para  predecir  y  controlar  el  cambio.  Los  modelos  más  simples  de  función  (lineal,  afín,  cuadrática, exponencial...) encapsulan modelos de variación como la proporcionalidad.

La introducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la naturaleza arbitraria de  los  conjuntos  en  que  se  le  define,  as í  como  a  la  relación  establecida  entre  ellos.  Es  necesario  enfrentar  a  los estudiantes a situaciones donde la función no exhiba una regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición  está  determinada  por  la  existencia  de  la  expresión  algebraica.  A  la  conceptualización  de  la  función y los objetos  asociados  (dominio,  rango...)  le  prosigue  el  estudio  de  los  modelos  elementales,  lineal,  afín,  cuadrático, exponencial,  priorizando  en   éstos  el  estudio  de  los  patrones  que  los  caracterizan  (crecientes,  decrecientes).  La calculadora gráfica se constituye en una herramienta didáctica necesaria para lograr este propósito.

En  lo  referente  a  la  construcción  del  continuo  numérico,  los  escenarios  deben  ser  los  numéricos  y  los  geométricos. Particularmente el trabajo con las representaciones decimales, cobra especial relevancia. Los procesos infinitos deben ser introducidos en contextos geométricos.

Una  propuesta  didáctica  para  el  tratamiento  de  las  funciones  es á  desarrollada  en  los  Programas  de  la  Renovación Curricular.

El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos